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sinx的n次方积分递推式

2026-02-11 10:52:22 来源：网易用户：都咏羽

【sinx的n次方积分递推式】在数学中，计算函数 $ \sin^n x $ 的积分是一个常见的问题，尤其在微积分和物理中有着广泛的应用。对于不同次数 $ n $ 的正弦函数的幂积分，可以通过递推公式进行简化，避免重复计算。

以下是对 $ \int \sin^n x \, dx $ 的积分递推式的总结，并以表格形式展示不同 $ n $ 值下的结果与递推关系。

一、积分递推式的推导

设

I_n = \int \sin^n x \, dx

我们可以通过分部积分法来推导递推式。令：

- $ u = \sin^{n-1} x $

- $ dv = \sin x \, dx $

则有：

- $ du = (n-1)\sin^{n-2} x \cos x \, dx $

- $ v = -\cos x $

根据分部积分公式 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $，得：

I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx

利用恒等式 $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $，可得：

I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) \, dx

展开后：

I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \, dx - (n-1) \int \sin^n x \, dx

即：

I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n

将 $ I_n $ 移项整理得：

I_n + (n-1) I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2}

n I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2}

最终得到递推公式：

I_n = \frac{1}{n} \left[ -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2} \right

二、特殊值与递推表

下表展示了 $ \int \sin^n x \, dx $ 在不同 $ n $ 值下的积分表达式及递推关系。

n	积分表达式（不定积分）	递推关系
0	$ x + C $	—
1	$ -\cos x + C $	—
2	$ \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin 2x + C $	$ I_2 = \frac{1}{2} \left[ -\sin x \cos x + I_0 \right] $
3	$ -\frac{1}{3} \cos x + \frac{1}{9} \cos^3 x + C $	$ I_3 = \frac{1}{3} \left[ -\sin^2 x \cos x + 2 I_1 \right] $
4	$ \frac{3x}{8} - \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C $	$ I_4 = \frac{1}{4} \left[ -\sin^3 x \cos x + 3 I_2 \right] $
5	$ -\frac{1}{5} \cos x + \frac{2}{15} \cos^3 x - \frac{1}{25} \cos^5 x + C $	$ I_5 = \frac{1}{5} \left[ -\sin^4 x \cos x + 4 I_3 \right] $

三、小结

通过上述递推公式，我们可以从低次幂的积分逐步推出高次幂的积分，从而大大简化计算过程。此方法适用于所有正整数 $ n $，且在实际应用中非常高效。

此外，若需计算定积分，如 $ \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx $，还可使用 Wallis 公式进一步简化，这在概率论和信号处理等领域也有重要应用。

如需进一步了解特定 $ n $ 值的积分表达式或 Wallis 公式，欢迎继续提问。

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