arctanx的原函数怎么算

【arctanx的原函数怎么算】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一个常见的问题。对于函数 $ \arctan x $，它的原函数可以通过分部积分法来求解。下面我们将详细说明如何计算 $ \arctan x $ 的原函数，并以总结加表格的形式进行展示。

一、计算方法概述

要计算 $ \int \arctan x \, dx $，我们可以使用分部积分法。分部积分公式为：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

我们令：

- $ u = \arctan x $

- $ dv = dx $

那么有：

- $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ v = x $

代入分部积分公式得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下来计算第二个积分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

这个积分可以通过换元法求解，令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{dt}{2} $，代入后得：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln t + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

因此，最终结果为：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

二、总结与表格展示

三、结论

通过分部积分和换元法相结合的方式，可以得出 $ \arctan x $ 的原函数为：

$$

x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

该结果在数学分析和工程计算中具有广泛应用，尤其在涉及反三角函数的积分问题中非常常见。

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