arctanx的导数是什么

【arctanx的导数是什么】在微积分中，反三角函数的导数是常见的求导问题之一。其中，arctanx（即反正切函数）的导数是一个重要的知识点，广泛应用于数学、物理和工程等领域。了解其导数有助于更深入地理解函数的变化率及其图像特性。

一、arctanx的导数总结

arctanx的导数为：

$$

\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}

$$

这个结果可以通过反函数的求导法则或利用隐函数求导法进行推导。

二、导数计算过程简要说明

设 $ y = \arctan x $，则根据定义，有 $ x = \tan y $。对两边关于 $ x $ 求导：

$$

\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\tan y)

$$

左边为1，右边使用链式法则：

$$

1 = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx}

$$

由于 $ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y $，而 $ \tan y = x $，所以：

$$

1 = (1 + x^2) \cdot \frac{dy}{dx}

$$

解得：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}

$$

因此，$ \frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} $

三、关键信息表格

四、注意事项

- arctanx 是一个奇函数，其导数也是偶函数。

- 在实际应用中，该导数常用于求解积分或微分方程中的相关问题。

- 与之相关的导数还有 arccotx，其导数为 $ -\frac{1}{1 + x^2} $。

通过上述分析，我们清晰地了解了 arctanx 的导数及其背后的数学原理，这对于进一步学习微积分和相关应用具有重要意义。

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