arctanx的不定积分

【arctanx的不定积分】在微积分中，求函数的不定积分是常见的问题之一。对于反三角函数如 $ \arctan x $，其不定积分需要通过分部积分法来求解。下面我们将对 $ \arctan x $ 的不定积分进行总结，并以表格形式展示关键内容。

一、不定积分公式

函数 $ \arctan x $ 的不定积分可以表示为：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

其中，$ C $ 是积分常数。

二、推导过程（简要）

使用分部积分法，设：

- $ u = \arctan x $，则 $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ dv = dx $，则 $ v = x $

根据分部积分公式：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

代入得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下来计算右边的积分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

因此，最终结果为：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

三、关键信息总结表

四、注意事项

- 在实际应用中，若题目给出具体上下限，可进一步转化为定积分。

- 该积分结果适用于所有实数 $ x $。

- 若涉及更复杂的表达式，可能需要结合其他积分技巧或数值方法进行处理。

通过以上分析和总结，我们可以清晰地掌握 $ \arctan x $ 的不定积分公式及其推导思路。这对于学习微积分、解决相关问题具有重要参考价值。

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