arctanx的定积分怎么算 分部积分法求解步骤

计算arctanx的定积分主要使用分部积分法，其原函数为x·arctanx - ½·ln(1+x²) + C，再根据定积分上下限代入求差即可得到结果。

具体步骤：设u = arctanx，dv = dx，则du = 1/(1+x²) dx，v = x。由分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du，得∫arctanx dx = x·arctanx - ∫x/(1+x²) dx。再对∫x/(1+x²) dx进行换元，令t = 1+x²，dt = 2x dx，则∫x/(1+x²) dx = ½∫1/t dt = ½ lnt + C = ½ ln(1+x²) + C。因此，不定积分结果为x·arctanx - ½ ln(1+x²) + C。对于定积分，如∫ₐᵇ arctanx dx，则结果为[b·arctanb - ½ ln(1+b²)] - [a·arctana - ½ ln(1+a²)]。注意当上下限涉及无穷时需使用极限求解，例如∫₀¹ arctanx dx = π/4 - ½ ln2。

【常见问题】

问题1：arctanx的定积分公式是什么？

回答1：arctanx的定积分公式由不定积分推导而来，即∫ arctanx dx = x·arctanx - ½ ln(1+x²) + C，定积分则根据该原函数在上下限处的差值计算。

问题2：arctanx的定积分在0到1上的值是多少？

回答2：arctanx的定积分在0到1上的值为π/4 - ½ ln2，具体代入公式：1·arctan1 - ½ ln(1+1) - (0·arctan0 - ½ ln1) = π/4 - ½ ln2。

问题3：计算arctanx的定积分时，如果上下限为无穷怎么办？

回答3：当上下限为无穷时，arctanx的定积分需要利用极限计算，例如∫₀^∞ arctanx dx发散，但广义积分∫₀^∞ arctanx/(1+x²) dx等可通过特殊方法求解，注意原函数在无穷处的行为。

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