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lnx的平方的导数是什么

2026-02-08 06:43:15 来源：网易用户：夏侯荔阅

【lnx的平方的导数是什么】在微积分的学习中，求函数的导数是一个基本且重要的内容。对于“lnx的平方”的导数问题，许多学生可能会产生混淆，因为这个表达式可以有两种不同的理解方式：一种是 (lnx)²，即对自然对数函数取平方；另一种是 ln(x²)，即先对x进行平方再取自然对数。本文将分别解释这两种情况，并给出相应的导数结果。

一、两种可能的理解

表达式	含义	导数
(lnx)²	自然对数函数 lnx 的平方	2(lnx)·(1/x)
ln(x²)	x 的平方后再取自然对数	2/x

二、详细解析

1. (lnx)² 的导数

这是一个复合函数，外层是平方函数，内层是 lnx。根据链式法则，我们可以分步求导：

- 设 u = lnx

- 则 f(u) = u²

- 所以 f’(u) = 2u

- 而 u’ = 1/x

因此，导数为：

\frac{d}{dx} (lnx)^2 = 2 \cdot lnx \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x}

2. ln(x²) 的导数

这个表达式可以简化为：

\ln(x^2) = 2 \ln x

所以直接求导即可：

\frac{d}{dx} \ln(x^2) = \frac{d}{dx} [2 \ln x] = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}

也可以使用链式法则直接计算：

- 设 u = x²

- 则 f(u) = ln u

- 所以 f’(u) = 1/u

- 而 u’ = 2x

因此，导数为：

\frac{d}{dx} \ln(x^2) = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x}

三、总结

表达式	导数	说明
(lnx)²	$\frac{2 \ln x}{x}$	复合函数，应用链式法则
ln(x²)	$\frac{2}{x}$	可化简为 $2 \ln x$，也可用链式法则求解

通过以上分析可以看出，“lnx的平方”的导数取决于其具体表达形式。在实际应用中，应根据题目或上下文准确判断是哪种形式，避免混淆。掌握好链式法则和对数性质，有助于更高效地解决类似问题。

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