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lnx的不定积分如何算

2026-02-08 06:41:30 来源：网易用户：倪友乐

【lnx的不定积分如何算】在微积分的学习过程中，求解函数的不定积分是一个重要的内容。对于函数 $ \ln x $，其不定积分虽然不直接显而易见，但可以通过分部积分法进行推导。本文将对 $ \ln x $ 的不定积分进行详细总结，并通过表格形式展示关键步骤和结果。

一、基本概念

不定积分是指求一个函数的原函数，即找到一个函数 $ F(x) $，使得 $ F'(x) = f(x) $。

对于 $ f(x) = \ln x $，我们要求的是：

\int \ln x \, dx

二、计算方法：分部积分法

分部积分法是解决 $ \int u \, dv $ 的常用方法，公式为：

\int u \, dv = uv - \int v \, du

我们将 $ \ln x $ 设为 $ u $，并设 $ dv = dx $，那么：

- $ u = \ln x $ → $ du = \frac{1}{x} dx $

- $ dv = dx $ → $ v = x $

代入分部积分公式：

\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + C

三、结论总结

步骤	内容
1	设 $ u = \ln x $，$ dv = dx $
2	求得 $ du = \frac{1}{x} dx $，$ v = x $
3	应用分部积分公式：$ \int \ln x \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx $
4	计算得到：$ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + C $

四、最终答案

\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C

其中，$ C $ 是积分常数。

五、小结

通过分部积分法，我们可以有效地求出 $ \ln x $ 的不定积分。这一过程不仅展示了分部积分的应用，也体现了对基本函数的深入理解。掌握此类积分技巧，有助于提升在高等数学中的解题能力。

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