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平均平动动能的公式推导

2026-01-16 08:39:35 来源：网易用户：逄贤凝

【平均平动动能的公式推导】在热力学与统计物理中，气体分子的平均平动动能是一个重要的物理量，它反映了气体温度的本质。通过理想气体模型和分子运动论，可以推导出气体分子的平均平动动能公式，进而理解温度与微观粒子运动之间的关系。

一、基本概念

- 平均平动动能：指单位质量气体分子在某一方向上的平均动能。

- 温度：与气体分子的平均平动动能成正比。

- 理想气体：假设气体分子之间无相互作用力，且体积可忽略。

二、推导过程概述

1. 分子运动理论基础：

- 气体由大量分子组成，这些分子处于无规则的热运动中。

- 分子碰撞容器壁时产生压强。

2. 动量变化与压强关系：

- 假设一个分子以速度 $ v_x $ 撞击器壁，反弹后速度变为 $ -v_x $，动量变化为 $ \Delta p = 2mv_x $。

- 单位时间内撞击次数与速度有关，从而推导出压强公式。

3. 平均动能与温度的关系：

- 通过统计方法求得所有分子的平均平动动能，并将其与温度联系起来。

三、公式推导步骤

步骤	内容
1	假设一个分子质量为 $ m $，速度为 $ v $，其平动动能为 $ E_k = \frac{1}{2}mv^2 $
2	在三维空间中，速度可分解为三个分量 $ v_x, v_y, v_z $，则总动能为 $ E_k = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) $
3	对所有分子求平均，得到平均平动动能 $ \langle E_k \rangle = \frac{1}{2}m(\langle v_x^2 \rangle + \langle v_y^2 \rangle + \langle v_z^2 \rangle) $
4	根据各向同性，有 $ \langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle = \frac{1}{3}\langle v^2 \rangle $
5	代入得 $ \langle E_k \rangle = \frac{1}{2}m \cdot \frac{1}{3} \cdot 3\langle v^2 \rangle = \frac{1}{2}m\langle v^2 \rangle $
6	根据理想气体状态方程 $ PV = NkT $，结合动量变化推导出 $ \langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT $

四、最终公式

\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT

其中：

- $ \langle E_k \rangle $：平均平动动能

- $ k $：玻尔兹曼常数（$ 1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K} $）

- $ T $：温度（单位为开尔文）

五、总结

平均平动动能是气体分子热运动的宏观表现之一，其公式推导基于分子运动论和统计物理的基本原理。通过分析分子的平均速度平方与温度的关系，得出平均平动动能与温度成正比的结论。这一结果不仅解释了温度的本质，也为热力学与统计物理提供了重要理论支持。

六、关键公式一览表

如需进一步探讨不同气体或非理想情况下的修正公式，可参考麦克斯韦-玻尔兹曼分布或范德瓦尔方程。

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