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0到四分之派的华里士公式

2026-01-29 17:24:17 来源：网易用户：别娥娜

【0到四分之派的华里士公式】在数学中，华里士公式（Wallis formula）主要用于计算圆周率 π 的近似值，它通过无限乘积的形式表达。通常，华里士公式是在 0 到 π/2 的区间内对正弦或余弦函数进行积分，从而得到一个与 π 相关的结果。本文将总结从 0 到 π/4 的华里士公式的相关内容，并以表格形式展示关键数值和公式。

一、华里士公式的背景

华里士公式最初由约翰·华里士（John Wallis）在17世纪提出，用于计算圆周率 π 的近似值。其核心思想是利用正弦函数的积分，通过递推关系得到一系列分数乘积，最终逼近 π 的值。

一般形式如下：

\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4n^2}{4n^2 - 1} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!}

但此公式通常适用于从 0 到 π/2 的积分。若将其应用于 0 到 π/4 的区间，则需要对原公式进行调整或重新推导。

二、0 到 π/4 的华里士公式

对于积分区间为 0 到 π/4 的情况，我们可以考虑以下形式的积分：

\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^n x \, dx

或

\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^n x \, dx

这类积分可以通过递推公式或特殊函数来表示。虽然标准的华里士公式通常用于 0 到 π/2，但在特定条件下，也可以推广至 0 到 π/4。

三、总结与表格

以下是关于 0 到 π/4 区间内的华里士公式的总结及部分数值示例：

积分形式	公式表达	说明
$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^n x \, dx$	$I_n = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{(n-1)!!}{n!!}$	当 n 为偶数时，结果为有理数；当 n 为奇数时，结果包含 √2
$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^n x \, dx$	$J_n = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{(n-1)!!}{n!!}$	结果与 sin 积分类似，仅符号略有不同
华里士公式推广	$\frac{\pi}{4} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$	该级数为 π/4 的莱布尼茨公式，可视为华里士公式的另一种表现形式

四、结论

虽然传统的华里士公式主要用于 0 到 π/2 的积分，但在实际应用中，可以根据具体需求对公式进行调整，以适应 0 到 π/4 的区间。通过积分形式的变换或级数展开，可以得到相应的结果。这种推广不仅拓展了华里士公式的应用范围，也为数值计算提供了更多可能性。

如需进一步了解华里士公式在其他区间的应用或具体数值计算方法，可参考相关数学文献或使用数值积分工具进行验证。

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