合分比定理是什么

【合分比定理是什么】“合分比定理”是数学中一个重要的比例性质，常用于代数和几何问题的解决中。它描述了在某些条件下，多个比例之间可以进行合并或分解的规律。该定理在初中数学和高中数学中均有涉及，尤其在处理分数、比例关系以及相似三角形等问题时具有广泛应用。

一、合分比定理的基本概念

合分比定理是指：如果几个分数相等，那么它们的分子之和与分母之和的比值也等于原来的分数值。具体来说，若：

$$

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}

$$

则有：

$$

\frac{a + c + e}{b + d + f} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}

$$

这个定理的核心在于：当多个分数相等时，它们的分子与分母分别相加后，得到的新分数仍然与原分数相等。

二、合分比定理的应用场景

三、合分比定理的示例

例1：

已知 $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9}$，根据合分比定理：

$$

\frac{2 + 4 + 6}{3 + 6 + 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}

$$

结果与原分数相同，验证了定理的正确性。

例2：

若 $\frac{x}{y} = \frac{3}{5}$，且 $x + y = 16$，求 $x$ 和 $y$ 的值。

由合分比定理可知：

$$

\frac{x}{y} = \frac{3}{5} \Rightarrow x = \frac{3}{5}y

$$

代入 $x + y = 16$ 得：

$$

\frac{3}{5}y + y = 16 \Rightarrow \frac{8}{5}y = 16 \Rightarrow y = 10, x = 6

$$

四、总结

合分比定理是一个简洁而实用的数学工具，适用于多种数学情境。其核心思想是：多个相等的比例，可以合并为一个新的比例，仍保持原来的比例关系。掌握这一定理，有助于提高解题效率，并加深对比例关系的理解。

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