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分部积分法顺序口诀

2025-12-08 11:24:08 来源：网易用户：师峰丽

【分部积分法顺序口诀】在学习高等数学的过程中，分部积分法是一个非常重要的工具，尤其在处理积分问题时，能够有效简化复杂的积分运算。然而，对于初学者来说，如何选择合适的被积函数和微分部分，往往让人感到困惑。为此，总结出一套“分部积分法顺序口诀”，帮助记忆和应用。

一、分部积分法的基本公式

分部积分法的核心公式为：

\int u \, dv = uv - \int v \, du

其中，$u$ 是一个可微函数，$dv$ 是另一个可微函数的微分。

二、分部积分法顺序口诀

为了方便记忆，可以采用以下口诀来指导选择 $u$ 和 $dv$ 的顺序：

> “反三对指”（即：反三角、三角、对数、指数）

这个口诀代表了在选择 $u$ 时的优先级顺序，按从高到低排列如下：

优先级	函数类型	说明
1	反三角函数	如 $\arcsin x$、$\arctan x$ 等
2	三角函数	如 $\sin x$、$\cos x$ 等
3	对数函数	如 $\ln x$、$\log x$ 等
4	指数函数	如 $e^x$、$a^x$ 等

三、使用方法与示例

在实际应用中，我们可以按照上述口诀的顺序来选择 $u$，而剩下的部分作为 $dv$。

示例 1：

计算 $\int x \ln x \, dx$

- 根据口诀，“对数函数”优先于“多项式函数”（这里 $x$ 是多项式），因此令：

- $u = \ln x$

- $dv = x \, dx$

- 则：

- $du = \frac{1}{x} dx$

- $v = \frac{x^2}{2}$

- 应用分部积分公式：

\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C

示例 2：

计算 $\int e^x \sin x \, dx$

- 这里没有明显的“反三角”或“对数”函数，但根据口诀，指数函数是最后一步，所以可先尝试将 $u = \sin x$，$dv = e^x dx$。

- 经过两次分部积分后，最终结果为：

\int e^x \sin x \, dx = \frac{e^x}{2} (\sin x - \cos x) + C

四、总结表格

项目	内容
分部积分公式	$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
口诀	“反三对指”（反三角 > 三角 > 对数 > 指数）
使用建议	优先选择“反三角”、“三角”、“对数”作为 $u$，其余作为 $dv$
适用场景	乘积形式的积分，如 $x \ln x$、$e^x \sin x$ 等
注意事项	若第一次分部后仍难以积分，可再次应用分部积分法，直至简化为止

通过掌握这一口诀与使用方法，可以大大提升在处理复杂积分问题时的效率和准确性。希望本文能为你的数学学习带来帮助。

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