点关于直线对称的点的坐标公式

【点关于直线对称的点的坐标公式】在平面几何中，求一个点关于某条直线的对称点是一个常见的问题。通过对称变换，可以找到该点在直线另一侧的镜像位置。掌握这一公式的推导过程和应用方法，有助于解决许多几何问题。

一、基本概念

设点 $ P(x_0, y_0) $，直线 $ l $ 的一般方程为：

$$

Ax + By + C = 0

$$

要求点 $ P $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ P'(x', y') $ 的坐标。

二、对称点坐标的推导原理

1. 对称点的定义：点 $ P' $ 是点 $ P $ 关于直线 $ l $ 的对称点，意味着：

- 直线 $ l $ 是线段 $ PP' $ 的垂直平分线；

- 点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离等于点 $ P' $ 到直线 $ l $ 的距离；

- 中点 $ M $ 在直线 $ l $ 上。

2. 步骤：

- 找出点 $ P $ 到直线 $ l $ 的垂足 $ M $；

- 根据对称性，得到对称点 $ P' $ 的坐标。

三、对称点坐标公式

设直线 $ l $ 的方程为 $ Ax + By + C = 0 $，点 $ P(x_0, y_0) $，则其关于直线对称的点 $ P'(x', y') $ 的坐标为：

$$

x' = x_0 - \frac{2A(Ax_0 + By_0 + C)}{A^2 + B^2}

$$

$$

y' = y_0 - \frac{2B(Ax_0 + By_0 + C)}{A^2 + B^2}

$$

四、公式总结表

五、应用示例

题目：已知点 $ P(1, 2) $，直线 $ l: x - y + 1 = 0 $，求点 $ P $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ P' $。

解法：

- $ A = 1 $，$ B = -1 $，$ C = 1 $

- 计算 $ Ax_0 + By_0 + C = 1×1 + (-1)×2 + 1 = 0 $

代入公式得：

$$

x' = 1 - \frac{2×1×0}{1^2 + (-1)^2} = 1

$$

$$

y' = 2 - \frac{2×(-1)×0}{1^2 + (-1)^2} = 2

$$

结论：对称点为 $ (1, 2) $，说明点 $ P $ 在直线上，对称点与原点重合。

六、注意事项

- 若点在直线上，则对称点即为自身；

- 若直线为水平或垂直方向，可使用更简单的对称公式；

- 公式适用于任意非垂直的直线，但需注意分母不为零。

通过上述内容，我们可以清晰地了解点关于直线对称的点的坐标公式及其应用方法，为后续几何学习打下基础。

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