三次罗尔定理

应该是罗尔中值定理：微分学中一条重要的定理，三大微分中值定理之一。

罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

罗尔定理描述如下：

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

证明过程

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

几何意义

若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。

几种特殊情况

（1）有界开区间上的有界函数

若函数

在区间

上连续且可导，并有

，则至少存在一个

，使得

。

（2）有界区间上的无界函数

若函数

在区间

上连续且可导，并有

（或

），则至少存在一个

，使得

。

（3）无界区间上的有界函数

若函数

在区间

上连续且可导，并有

，则至少存在一个

，使得

。

（4）无界区间上的无界函数

若函数

在区间

上连续且可导，并有

（或

），则至少存在一个

，使得

。

（5）半无界区间上的有界函数

若函数

在区间[

)上连续且可导，并有

，则至少存在一个

，使得

。

（6）半无界区间上的无界函数

若函数

在区间[

)上连续且可导，并有

（或

），则至少存在一个

，使得

。

证明

这里仅选择特殊情况（2）、（3）加以证明，其余证明的思路大致类似。

定理 若函数

在区间

上连续且可导，并有

。则至少存在一个

，使得

。

证明：至少可取到一点

，使

，否则

恒等于

，对于任意的实数

，都有

。

不妨设

，取

，显然

。根据极限定义，由

可得

，当

时，有

，

，

，

任取

，则有

，

。

利用

，类似地可知存在

，使

。

定理 若函数

在区间

上连续且可导，并有

。则至少存在一个

，使得

。

证明：任取

，因为

，所以至少存在一点

，使

。

类似地由

可知存在一点

，使

。

这就有了

且

，

于是，

在闭区间

上连续，则在闭区间

上必有

的最小值点

，由于闭区间

的两个端点都不可能是

的最小值点，由此可知

，根据费马定理可知

。

范例解析：用罗尔中值定理证明：方程3

在 (0,1) 内有实根。

证明：设

则 F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，

，所以由罗尔中值定理，至少存在一点

，使得

，所以

，所以ξ是方程

在 (0,1) 内的一个实根。

结论得证。

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