arccosx的导数是什么

【arccosx的导数是什么】在微积分中，反三角函数的导数是学习过程中常见的内容之一。其中，arccosx（即反余弦函数）的导数是一个重要的知识点，掌握它有助于解决相关的数学问题和实际应用。

一、arccosx的导数公式

arccosx 的导数为：

$$

\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

$$

该公式适用于定义域 $ x \in [-1, 1] $。

二、推导思路（简要说明）

设 $ y = \arccos x $，则根据反函数的定义有：

$$

x = \cos y

$$

对两边关于 $ x $ 求导：

$$

\frac{dx}{dy} = -\sin y

$$

因此，

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = -\frac{1}{\sin y}

$$

由于 $ \sin^2 y + \cos^2 y = 1 $，所以 $ \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2} $，代入得：

$$

\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

$$

三、总结表格

四、注意事项

- 导数结果为负值，表示 arccosx 是一个单调递减函数。

- 在计算过程中需注意根号内的表达式必须非负，因此定义域为 $ x \in [-1, 1] $。

- 与 arcsinx 的导数相比，arccosx 的导数符号相反，这是因为 cosx 与 sinx 在区间上的单调性不同。

通过以上分析可以看出，arccosx 的导数虽然形式简单，但其背后的数学逻辑严谨，理解其推导过程有助于更深入掌握反函数求导的方法。

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