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三角函数公式介绍

2026-01-23 17:32:58 来源：网易用户：上官竹桂

【三角函数公式介绍】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机科学等多个领域。常见的三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan），以及它们的倒数函数：余切（cot）、正割（sec）和余割（sec）。为了更好地理解和应用这些函数，以下是对主要三角函数公式的总结与归纳。

一、基本定义

设一个直角三角形中，角θ为其中一个锐角，则有：

函数名称	定义式
正弦 (sin)	对边 / 斜边
余弦 (cos)	邻边 / 斜边
正切 (tan)	对边 / 邻边
余切 (cot)	邻边 / 对边
正割 (sec)	斜边 / 邻边
余割 (csc)	斜边 / 对边

二、常用恒等式

公式名称	公式表达
基本恒等式	$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $
正切与余切关系	$ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} $
正割与余割关系	$ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $, $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $
倒数关系	$ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $, $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $, $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $

三、诱导公式（角度转换）

角度变化	公式表达
$ \sin(-\theta) $	$ -\sin\theta $
$ \cos(-\theta) $	$ \cos\theta $
$ \tan(-\theta) $	$ -\tan\theta $
$ \sin(\pi - \theta) $	$ \sin\theta $
$ \cos(\pi - \theta) $	$ -\cos\theta $
$ \tan(\pi - \theta) $	$ -\tan\theta $

四、和差角公式

公式名称	公式表达
正弦和差	$ \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b $
余弦和差	$ \cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b $
正切和差	$ \tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b} $

五、倍角公式

公式名称	公式表达
正弦倍角	$ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $
余弦倍角	$ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ 或 $ 2\cos^2\theta - 1 $ 或 $ 1 - 2\sin^2\theta $
正切倍角	$ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $

六、半角公式

公式名称	公式表达
正弦半角	$ \sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $
余弦半角	$ \cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $
正切半角	$ \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} $ 或 $ \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $

七、积化和差与和差化积

公式名称	公式表达
积化和差	$ \sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a + b) + \sin(a - b)] $
和差化积	$ \sin a + \sin b = 2\sin\left( \frac{a + b}{2} \right)\cos\left( \frac{a - b}{2} \right) $

通过以上总结可以看出，三角函数公式不仅具有一定的规律性，而且在实际问题中有着广泛的用途。掌握这些公式有助于提高解题效率，增强对三角函数的理解和应用能力。

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