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空间向量点到平面的距离公式是什么

2025-12-30 19:52:08 来源：网易用户：刘安翠

【空间向量点到平面的距离公式是什么】在三维几何中，计算一个点到一个平面的距离是一个常见的问题。这个距离可以通过空间向量的数学方法来求解。以下是对该公式的总结，并通过表格形式进行清晰展示。

一、公式概述

给定一个点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 和一个平面 $ \pi $，其一般方程为：

Ax + By + Cz + D = 0

其中，$ A, B, C $ 是平面的法向量 $ \vec{n} = (A, B, C) $ 的分量，$ D $ 是常数项。那么，点 $ P $ 到平面 $ \pi $ 的距离 $ d $ 可以通过以下公式计算：

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

二、公式推导思路（简要）

1. 法向量方向：平面的法向量 $ \vec{n} = (A, B, C) $ 垂直于平面。

2. 点与平面的关系：将点 $ P $ 代入平面方程，可以得到一个数值，表示点相对于平面的位置。

3. 距离计算：利用点到平面的投影长度，结合法向量的模长，得出点到平面的最短距离。

三、公式应用说明

- 公式适用于任何三维空间中的点和平面。

- 若点位于平面上，则距离为零。

- 公式中的绝对值确保了距离为非负值。

四、表格对比

内容	说明
点坐标	$ P(x_0, y_0, z_0) $
平面方程	$ Ax + By + Cz + D = 0 $
法向量	$ \vec{n} = (A, B, C) $
距离公式	$ d = \frac{	Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D	}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $
公式意义	表示点 $ P $ 到平面 $ \pi $ 的最短距离
注意事项	分子是点代入平面方程后的绝对值；分母是法向量的模长

五、实际应用举例

假设点 $ P(1, 2, 3) $，平面方程为 $ 2x - 3y + 6z - 12 = 0 $，则点到平面的距离为：

d = \frac{2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 - 12}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 + 18 - 12}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{2}{\sqrt{49}} = \frac{2}{7}

六、总结

点到平面的距离公式是三维几何中重要的工具之一，广泛应用于工程、物理、计算机图形学等领域。理解并掌握这一公式有助于解决许多实际问题。通过表格形式的总结，可以更清晰地理解公式的结构和使用方法。

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