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等比数列求和公式可以表示为Sn

2025-12-02 11:51:49 来源：网易用户：仲孙有剑

【等比数列求和公式可以表示为Sn】在数学中，等比数列是一种重要的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。对于等比数列的前n项和，我们有专门的求和公式，通常用符号 $ S_n $ 表示。以下是对等比数列求和公式的总结，并通过表格形式进行展示。

一、等比数列的基本概念

等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等的数列。设首项为 $ a $，公比为 $ r $（$ r \neq 1 $），则第 $ n $ 项为：

a_n = a \cdot r^{n-1}

二、等比数列前n项和公式

当公比 $ r \neq 1 $ 时，等比数列的前 $ n $ 项和 $ S_n $ 可以表示为：

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

或等价地：

S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

其中：

- $ a $ 是首项；

- $ r $ 是公比；

- $ n $ 是项数；

- $ S_n $ 是前 $ n $ 项的和。

三、特殊情况说明

公比 $ r $	公式表达	说明
$ r = 1 $	$ S_n = a \cdot n $	所有项相等，直接相加即可
$ r \neq 1 $	$ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $	正常情况下的求和公式

四、实例演示

假设一个等比数列为：2, 6, 18, 54, 162

- 首项 $ a = 2 $

- 公比 $ r = 3 $

- 项数 $ n = 5 $

根据公式计算：

S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242

实际求和：2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242，结果一致。

五、总结

等比数列的前 $ n $ 项和 $ S_n $ 是数列求和中的重要工具，尤其在金融、物理和工程等领域有广泛应用。掌握其基本公式和适用条件，有助于提高解题效率和理解能力。

项目	内容
数列类型	等比数列
求和公式	$ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $
适用条件	公比 $ r \neq 1 $
特殊情况	当 $ r = 1 $ 时，$ S_n = a \cdot n $

通过以上内容，我们可以更清晰地理解等比数列求和公式的应用与意义。

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